一、基础理论
1. 欧氏距离
想象你在北京，想要知道离上海有多远，则可以直接计算这个城市（两点）间直线的距离，这就是欧氏距离。
在二维平面上，在二维平面上有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，欧氏距离为：
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欧氏距离衡量的是两点间的真实物理距离，关注的是位置的绝对差异。
2. 曼哈顿距离
想象你在曼哈顿，你想从一个街区走到另外一个街区。你不能走直线，只能沿着街道走，横着走一条街，再竖着走一条街，所行走的路径长度就是曼哈顿距离。
在二维平面上，在二维平面上有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，曼哈顿距离就是：
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曼哈顿距离考虑的是在各个维度上的绝对差值之和，适用于那些移动只能沿坐标轴进行的情况。
3. 切比雪夫距离
想象你在一个方格化的城市里，每个路口都严格地按照东西南北四个方向排列，就像一个巨大的棋盘。
你现在在一个交叉口，想要去往另一个交叉口，你可以是直行、左转、右转、走对角线（尽管现实中不能这么走），但每次只能走一个街区。
在所有可能的路线中，街区数最大的路线所对应的距离就是切比雪夫距离。
假如在二维平面上有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，切比雪夫距离的公式为：
4. 闵可夫斯基距离
假设我们要比较两个点A和B，在n维空间中的坐标分别为
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则闵可夫斯基距离的计算公式是：
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参数𝑝取不同的值时，则就变成了不同的距离：
- 当𝑝=1时，为曼哈顿距离。
- 当𝑝=2时，为欧式距离。
- 当𝑝趋近于无穷大时，为切比雪夫距离。
5. 余弦相似度
余弦相似度是一种衡量两个向量方向相似性的方法。
想象在三维空间有两个向量，一个指向东，另一个指向东北，这两个向量指向角度的接近程度就是余弦相似度。
如果两个向量指向完全相同的方向，相似度为1（即它们的夹角为0度）；如果指向完全相反，相似度为-1（180度）；如果它们垂直，则相似度为0。
余弦相似度的计算公式：
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两个向量的点积除以它们各自的长度（模）的乘积。
6. 值差异度量
在讨论距离计算时，特征是要直接比较大小的。
对于连续数值可以直接进行大小比较，如高度、温度、成绩等。
而对于离散特征，又有可以直接比较大小，如教育程度（小学、中学、大学）、服装尺码（S、M、L、XL）等；还有不可以直接比较大小的，如颜色（红、绿、蓝）、国籍（中国、美国、日本）等。
对于不可以直接比较大小的离散特征（离散无序），可以使用值差异度量（Value Difference Metric，VDM）。
VDM的核心思想是离散无序的数据转化为可以量化的差异度量，以进行比较和分析。具体步骤为：
（1）权重分配
A. 频率倒数法：
- 计算频率：对于每个无序特征，统计每个特征值在整个数据集中出现的次数，并计算出频率（出现次数/总样本数）。
- 计算权重：使用频率的倒数或其变形来作为权重。这是因为，频率较高的属性值（即较为常见的值）往往提供较少的区分信息，因此给予较小的权重；反之，频率较低的属性值（罕见值）提供较多区分信息，应给予较高权重。计算公式如 wi=1/fi+ϵ，其中 fi 是特征值i的频率，ϵ 是一个很小的正数（如1e-6），用于防止频率为0时，导致分母为0无法计算的问题。
B. 信息熵或信息增益。
（2）计算值差异
对于两个具体的值 va 和 vb，它们之间的值差异 D(va,vb) 可以直接根据它们的权重 wa 和 wb 计算。如果 va=vb，则差异为0；如果 va不等于vb，差异通常定义为 ∣wa−wb∣。
（3）综合距离计算
如果一个样本由多个无序特征组成，比如对象=(特征1,特征2,…,特征𝑛) ，那么可以对每个特征应用上述差异计算方法，然后将所有特征的差异值相加或取平均），以获得两个样本之间的总距离或相似度得分。
假设有一家电商平台想通过分析顾客的购物记录，来发现不同的消费群体。顾客数据包含以下几个无序特征：
（1）性别：男、女。
（2）地区：北京、上海、广州、深圳、其他。
（3）商品类别偏好：电子产品、家居用品、服饰、图书、食品。
VDM计算的过程为：
（1）数据预处理与权重计算
A. 统计频率
- 性别：男（52%），女（48%）
- 地区：北京（25%），上海（29%），广州（18%），深圳（15%），其他（13%）
- 商品类别偏好：电子产品（30%），家居用品（22%），服饰（25%），图书（10%），食品（13%）
B. 计算权重
- 假设采用频率倒数法，加入一个微小常数 ϵ=0.001 。
性别：男（1/0.52 + 0.001）= 1.93, 女（1/0.48 + 0.001）= 2.08。
地区：北京（1/0.25 + 0.001）= 4.04, 上海（1/0.29 + 0.001）= 3.45, 广州（1/0.18 + 0.001）= 5.59, 深圳（1/0.15 + 0.001）= 6.69, 其他（1/0.13 + 0.001）= 7.69。
商品类别偏好：电子产品（1/0.30 + 0.001）= 3.34, 家居用品（1/0.22 + 0.001）= 4.57, 服饰（1/0.25 + 0.001）= 4.04, 图书（1/0.10 + 0.001）= 10.01, 食品（1/0.13 + 0.001）= 7.69。
（2）应用VDM：利用上面计算的权重计算两个顾客间的距离，以进行聚类。
- 假设有两位顾客A和B，A的属性为（男，上海，电子产品），B的属性为（女，北京，图书）。
- 使用VDM计算差异：性别差异 = |1.93 – 2.08| = 0.15；地区差异 = |4.04 – 3.45| = 0.59；商品类别偏好差异 = |3.34 – 10.01| = 6.67。
- 合并差异：总距离 = 0.15 + 0.59 + 6.67 = 7.41。
二、聚类算法
聚类算法是一种无监督学习方法，其主要目的是将一组未标记的数据集分割成多个子集，称为簇（Clusters）。也就是聚类算法并不依赖于预先定义的类别标签，而是通过分析数据本身的特征和结构，自动发现数据中的隐藏模式或群组。
聚类算法的基本思想是基于相似性度量（如欧氏距离、余弦相似性等）来量化数据点之间的相似度，并利用这些度量来优化某个目标函数，从而实现数据的分组。
聚类算法可以根据不同的原则和策略进行分类，主要有：
（1）划分聚类（Partitioning Clustering）：将数据集划分为预先指定数量的簇，每个数据点只能属于一个簇。最典型的例子是K-means算法。
（2）层次聚类（Hierarchical Clustering）:可以进一步细分为凝聚型（Agglomerative）和分裂型（Divisive）。凝聚型算法从每个数据点作为一个独立的簇开始，然后逐步合并最相似的簇，直到满足某个终止条件；而分裂型则相反，开始时将所有数据视为一个簇，然后逐渐分裂。常见的算法有AGNES（Agglomerative Nesting）、DIANA（Divisive Analysis）、BIRCH等。
（3）基于密度的聚类（Density-Based Clustering）：基于数据点的邻域密度来确定簇，能够处理形状不规则的簇和含有噪声的数据。DBSCAN（Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise）是最知名的算法之一，它通过设置邻域半径和最小点数来识别高密度区域。OPTICS、DENCLUE也是基于密度的算法。
（4）基于网格的聚类（Grid-Based Clustering）：将数据空间划分为多个单元或网格，然后在网格层次上进行聚类。STING（Statistical Information Grid-based Clustering）、WaveCluster、CLIQUE（Clustering in Quest）是典型代表，它们适合处理大规模空间数据库。
（5）基于模型的聚类（Model-Based Clustering）：假设数据由某些数学模型（如高斯分布）生成，并尝试找到最佳的模型参数来描述数据。高斯混合模型（GMM, Gaussian Mixture Model）是最常见的例子，它通过最大似然估计来拟合数据到多个高斯分布上。
三、K-means算法
K-means算法是一种将数据集划分为K个互不相交的子集（簇），使得同一簇内的数据点彼此相似，而不同簇的数据点相异。
K-means（均值）算法的基本操作过程为：
1. 初始设置
（1）数据集：假设我们有一个二维数据集，包含以下五个数据点：{X(1, 2), Y(2, 1), Z(4, 8), W(5, 9), V(6, 7)}。
（2）初始化质心：随机选择两个数据点作为初始聚类中心（质心）：C1(2, 3), C2(6, 7)。
2. 执行步骤
步骤1: 数据点分配
- 对于数据集中的每个数据点，计算到C1和C2的距离。
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- 将每个数据点分配给距离最近的质心所在的簇。
假设结果为：
C1簇: {X(1, 2), Y(2, 1)}
C2簇: {Z(4, 8), W(5, 9), V(6, 7)}
步骤2: 更新质心
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步骤3: 迭代与收敛判断
- 重复步骤1和步骤2，直到质心的移动距离小于某个预设的阈值或达到预定的迭代次数。这一步确保算法收敛于一个稳定的聚类结果。
需要注意的是：
（1）初始质心选择：K-means算法对初始质心的选择敏感，不同的初始质心可能导致不同的聚类结果。
（2）簇形状：K-means假设簇为凸形状，可能不适合处理复杂的数据分布，如密度不均或存在异常点的情况。
（3）K值选择：选择合适的K值是关键，常用方法有肘部法则（Elbow Method）和轮廓系数法等。
