线性判别分析（LDA）算法原理详解

线性判别分析（Linear Discriminant Analysis，LDA）是一种常用的模式识别算法，它在降维和分类问题中被广泛应用。LDA 的主要思想是，将数据投影到一个低维空间中，并使得不同类别的数据点之间的距离最大化，同一类别内的数据点之间的距离最小化。

下面我们来详细讲解一下 LDA 的算法原理。

假设我们有一个数据集 $D=(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots ,(x_n,y_n)$，其中 $x_i\in {\mathbb{R}}^d$ 表示样本的特征向量，$y_i$ 表示样本的标签（假设样本属于 $k$ 个类别之一）。我们的目标是将这些数据投影到一个 $m$ 维的子空间中，使得不同类别的样本点之间的距离最大化，同一类别内的样本点之间的距离最小化。

假设我们已经将数据投影到了一个 $m$ 维的子空间中，其中 $m<d$，我们可以将样本的特征向量表示为 $z=(z_1,z_2,\cdots ,z_m{)}^T$，其中 $z_i$ 表示样本在第 $i$ 个维度上的投影。我们用 ${\mathbf{\mu }}_i$ 表示第 $i$ 类样本在子空间中的均值向量，用 ${\mathbf{\Sigma }}_i$ 表示第 $i$ 类样本在子空间中的协方差矩阵。

我们的目标是找到一个投影矩阵 $\mathbf{W}\in {\mathbb{R}}^{d\times m}$，使得样本在投影后的子空间中的类别可分性最大化。具体来说，我们可以通过最大化两个指标来实现这个目标：

• 类间距离最大化（Between-Class Scatter Matrix）：表示不同类别样本的投影之间的距离。它的计算公式为：

$$S_B={\sum }_{i=1}^k{N}_i({\mu }_i-\mu )({\mu }_i-\mu {)}^T$$

其中 $N_i$ 表示第 $i$ 类样本的数量，$\mathbf{\mu }$ 表示所有样本的均值向量，${\mathbf{\mu }}_i$ 表示第 $i$ 类样本在子空间中的均值向量。

类内距离最小化（Within-Class Scatter Matrix）：表示同一类别样本之间的投影距离。它的计算公式为：

$$S_W={\sum }_{i=1}^k{\Sigma }_i$$

将两个指标综合起来，我们可以定义一个目标函数：

$$\mathbf{J}(\mathbf{W})=\frac{\mathrm{tr}(W^r{S}_{B}W)}{\mathrm{tr}(W^r{S}_{W}W)}$$

其中 $\mathrm{tr}(\cdot )$ 表示矩阵的迹（即矩阵对角线上的元素之和）。我们的目标是最大化目标函数 $\mathbf{J}(\mathbf{W})$，找到一个最优的投影矩阵 $\mathbf{W}$。

我们可以通过求解广义特征值问题来得到最优的投影矩阵 $\mathbf{W}$。具体来说，我们需要计算 ${\mathbf{S}}_W^{-1}{\mathbf{S}}_B$ 的最大 $m$ 个特征值对应的特征向量，将这些特征向量组成一个矩阵 $\mathbf{W}$，即为最优的投影矩阵。

LDA 算法的代码实现如下：

import numpy as np

def lda(X, y, m):
    """
    X: shape (n, d), input data
    y: shape (n,), labels
    m: int, number of dimensions to project to
    """
    classes = np.unique(y)
    n_classes = len(classes)
    n_samples, n_features = X.shape

    # Compute mean of each class
    means = np.zeros((n_classes, n_features))
    for i, c in enumerate(classes):
        Xc = X[y == c]
        means[i] = np.mean(Xc, axis=0)

    # Compute within-class scatter matrix
    Sw = np.zeros((n_features, n_features))
    for i, c in enumerate(classes):
        Xc = X[y == c]
        Xc_centered = Xc - means[i]
        Sw += Xc_centered.T @ Xc_centered

    # Compute between-class scatter matrix
    mu = np.mean(X, axis=0)
    Sb = np.zeros((n_features, n_features))
    for i, c in enumerate(classes):
        Ni = len(X[y == c])
        mu_i = means[i]
        Sb += Ni * (mu_i - mu)[:, None] @ (mu_i - mu)[None, :]

    # Solve generalized eigenvalue problem
    eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(np.linalg.inv(Sw) @ Sb)
    eigvecs = eigvecs[:, np.argsort(eigvals)[::-1][:m]]

    # Project data onto subspace
    X_lda = X @ eigvecs

    return X_lda

其中，X 是输入数据，y 是标签，m 是要投影到的维度。函数首先计算每个类别的均值向量 means，然后计算类内协方差矩阵 Sw 和类间协方差矩阵 Sb，最后通过求解广义特征值问题得到最优的投影矩阵 eigvecs，将数据投影到子空间并返回投影后的数据 X_lda。

下面我们使用 scikit-learn 库中的 LDA 实现对鸢尾花数据集进行降维并可视化。首先加载数据集并进行数据预处理：

from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

# Load dataset
iris = load_iris()
X, y = iris.data, iris.target

# Standardize data
scaler = StandardScaler()
X_std = scaler.fit_transform(X)

然后使用 LDA 进行降维：

from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis as LDA

# Perform LDA
lda = LDA(n_components=2)
X_lda = lda.fit_transform(X_std, y)

最后，我们可以将投影后的数据进行可视化：

import matplotlib.pyplot as plt

# Plot results
plt.scatter(X_lda[:, 0], X_lda[:, 1], c=y)
plt.xlabel('LD1')
plt.ylabel('LD2')
plt.show()

这将显示一个二维散点图，其中每个点代表一个样本，其颜色对应于其类别。可以看到，LDA 成功地将数据投影到了一个新的低维子空间，并且不同类别的数据点在这个子空间中分离得更好。