1.逻辑回归的介绍和应用
1.1 逻辑回归的介绍
逻辑回归(Logistic regression,简称LR)虽然其中带有”回归”两个字,但逻辑回归其实是一个分类模型,并且广泛应用于各个领域之中。虽然现在深度学习相对于这些传统方法更为火热,但实则这些传统方法由于其独特的优势依然广泛应用于各个领域中。
而对于逻辑回归而且,最为突出的两点就是其模型简单和模型的可解释性强。
逻辑回归模型的优劣势:
- 优点:实现简单,易于理解和实现;计算代价不高,速度很快,存储资源低;
- 缺点:容易欠拟合,分类精度可能不高
1.2 逻辑回归的应用
逻辑回归模型广泛用于各个领域,包括机器学习,大多数医学领域和社会科学。例如,最初由Boyd 等人开发的创伤和损伤严重度评分(TRISS)被广泛用于预测受伤患者的死亡率,使用逻辑回归,基于观察到的患者特征(年龄,性别,体重指数,各种血液检查的结果等)分析预测发生特定疾病(例如糖尿病,冠心病)的风险。逻辑回归模型也用于预测在给定的过程中,系统或产品出现故障的可能性。还用于市场营销应用程序,例如预测客户购买产品或中止订购的倾向等。在经济学中它可以用来预测一个人选择进入劳动力市场的可能性,而商业应用则可以用来预测房主拖欠抵押贷款的可能性。条件随机字段是逻辑回归到顺序数据的扩展,用于自然语言处理。
逻辑回归模型现在同样是很多分类算法的基础组件,比如 分类任务中基于GBDT算法+LR逻辑回归实现的信用卡交易反欺诈,CTR(点击通过率)预估等,其好处在于输出值自然地落在0到1之间,并且有概率意义。模型清晰,有对应的概率学理论基础。它拟合出来的参数就代表了每一个特征(feature)对结果的影响。也是一个理解数据的好工具。但同时由于其本质上是一个线性的分类器,所以不能应对较为复杂的数据情况。很多时候我们也会拿逻辑回归模型去做一些任务尝试的基线(基础水平)。
1.3 逻辑回归的基本原理
- Logistic函数(或称为Sigmoid函数),函数形式为:
对于线性边界的情况,边界形式如下:
其中,训练数据为向量
最佳参数
构造预测函数为:
函数h(x)的值有特殊的含义,它表示结果取1的概率,因此对于输入x分类结果为类别1和类别0的概率分别为:
P(y=1│x;θ)=h_θ (x)
P(y=0│x;θ)=1-h_θ (x)
构造损失函数J(m个样本,每个样本具有n个特征)
Cost函数和J函数如下,它们是基于最大似然估计推导得到的。
最大似然估计就是求使l(θ)取最大值时的θ,其实这里可以使用梯度下降法求解,求得的θ就是要求的最佳参数。
在Andrew Ng的课程中将J(θ)取为下式,即:
- 梯度下降法求解最小值
θ更新过程可以写成:
2.代码实现
2.1 Demo实战
## 基础函数库
import numpy as np
## 导入画图库
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
## 导入逻辑回归模型函数
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
##Demo演示LogisticRegression分类
## 构造数据集
x_fearures = np.array([[-1, -2], [-2, -1], [-3, -2], [1, 3], [2, 1], [3, 2]])
y_label = np.array([0, 0, 0, 1, 1, 1])
## 调用逻辑回归模型
lr_clf = LogisticRegression()å
## 用逻辑回归模型拟合构造的数据集
lr_clf = lr_clf.fit(x_fearures, y_label) #其拟合方程为 y=w0+w1*x1+w2*x2
## 查看其对应模型的w
print('the weight of Logistic Regression:',lr_clf.coef_)
## 查看其对应模型的w0
print('the intercept(w0) of Logistic Regression:',lr_clf.intercept_)
## 可视化构造的数据样本点
plt.figure()
plt.scatter(x_fearures[:,0],x_fearures[:,1], c=y_label, s=50, cmap='viridis')
plt.title('Dataset')
plt.show()
# 可视化决策边界
plt.figure()
plt.scatter(x_fearures[:,0],x_fearures[:,1], c=y_label, s=50, cmap='viridis')
plt.title('Dataset')
nx, ny = 200, 100
x_min, x_max = plt.xlim()
y_min, y_max = plt.ylim()
x_grid, y_grid = np.meshgrid(np.linspace(x_min, x_max, nx),np.linspace(y_min, y_max, ny))
z_proba = lr_clf.predict_proba(np.c_[x_grid.ravel(), y_grid.ravel()])
z_proba = z_proba[:, 1].reshape(x_grid.shape)
plt.contour(x_grid, y_grid, z_proba, [0.5], linewidths=2., colors='blue')
plt.show()
### 可视化预测新样本
plt.figure()
## new point 1
x_fearures_new1 = np.array([[0, -1]])
plt.scatter(x_fearures_new1[:,0],x_fearures_new1[:,1], s=50, cmap='viridis')
plt.annotate(s='New point 1',xy=(0,-1),xytext=(-2,0),color='blue',arrowprops=dict(arrowstyle='-|>',connectionstyle='arc3',color='red'))
## new point 2
x_fearures_new2 = np.array([[1, 2]])
plt.scatter(x_fearures_new2[:,0],x_fearures_new2[:,1], s=50, cmap='viridis')
plt.annotate(s='New point 2',xy=(1,2),xytext=(-1.5,2.5),color='red',arrowprops=dict(arrowstyle='-|>',connectionstyle='arc3',color='red'))
## 训练样本
plt.scatter(x_fearures[:,0],x_fearures[:,1], c=y_label, s=50, cmap='viridis')
plt.title('Dataset')
# 可视化决策边界
plt.contour(x_grid, y_grid, z_proba, [0.5], linewidths=2., colors='blue')
plt.show()
## 在训练集和测试集上分布利用训练好的模型进行预测
y_label_new1_predict = lr_clf.predict(x_fearures_new1)
y_label_new2_predict = lr_clf.predict(x_fearures_new2)
print('The New point 1 predict class:n',y_label_new1_predict)
print('The New point 2 predict class:n',y_label_new2_predict)
## 由于逻辑回归模型是概率预测模型(前文介绍的 p = p(y=1|x,theta)),所有我们可以利用 predict_proba 函数预测其概率
y_label_new1_predict_proba = lr_clf.predict_proba(x_fearures_new1)
y_label_new2_predict_proba = lr_clf.predict_proba(x_fearures_new2)
print('The New point 1 predict Probability of each class:n',y_label_new1_predict_proba)
print('The New point 2 predict Probability of each class:n',y_label_new2_predict_proba)
2.2 基于鸢尾花(iris)数据集的逻辑回归分类实践
## 基础函数库
import numpy as np
import pandas as pd
## 绘图函数库
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
## 我们利用 sklearn 中自带的 iris 数据作为数据载入,并利用Pandas转化为DataFrame格式
from sklearn.datasets import load_iris
data = load_iris() #得到数据特征
iris_target = data.target #得到数据对应的标签
iris_features = pd.DataFrame(data=data.data, columns=data.feature_names) #利用Pandas转化为DataFrame格式
## 合并标签和特征信息
iris_all = iris_features.copy() ##进行浅拷贝,防止对于原始数据的修改
iris_all['target'] = iris_target
## 特征与标签组合的散点可视化
sns.pairplot(data=iris_all,diag_kind='hist', hue= 'target')
plt.show()
for col in iris_features.columns:
sns.boxplot(x='target', y=col, saturation=0.5,palette='pastel', data=iris_all)
plt.title(col)
plt.show()
# 选取其前三个特征绘制三维散点图
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
fig = plt.figure(figsize=(10,8))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
iris_all_class0 = iris_all[iris_all['target']==0].values
iris_all_class1 = iris_all[iris_all['target']==1].values
iris_all_class2 = iris_all[iris_all['target']==2].values
# 'setosa'(0), 'versicolor'(1), 'virginica'(2)
ax.scatter(iris_all_class0[:,0], iris_all_class0[:,1], iris_all_class0[:,2],label='setosa')
ax.scatter(iris_all_class1[:,0], iris_all_class1[:,1], iris_all_class1[:,2],label='versicolor')
ax.scatter(iris_all_class2[:,0], iris_all_class2[:,1], iris_all_class2[:,2],label='virginica')
plt.legend()
plt.show()
## 为了正确评估模型性能,将数据划分为训练集和测试集,并在训练集上训练模型,在测试集上验证模型性能。
from sklearn.model_selection import train_test_split
## 选择其类别为0和1的样本 (不包括类别为2的样本)
iris_features_part = iris_features.iloc[:100]
iris_target_part = iris_target[:100]
## 测试集大小为20%, 80%/20%分
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(iris_features_part, iris_target_part, test_size = 0.2, random_state = 2020)
## 从sklearn中导入逻辑回归模型
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
## 定义 逻辑回归模型
clf = LogisticRegression(random_state=0, solver='lbfgs')
# 在训练集上训练逻辑回归模型
clf.fit(x_train, y_train)
## 查看其对应的w
print('the weight of Logistic Regression:',clf.coef_)
## 查看其对应的w0
print('the intercept(w0) of Logistic Regression:',clf.intercept_)
## 在训练集和测试集上分布利用训练好的模型进行预测
train_predict = clf.predict(x_train)
test_predict = clf.predict(x_test)
from sklearn import metrics
## 利用accuracy(准确度)【预测正确的样本数目占总预测样本数目的比例】评估模型效果
print('The accuracy of the Logistic Regression is:',metrics.accuracy_score(y_train,train_predict))
print('The accuracy of the Logistic Regression is:',metrics.accuracy_score(y_test,test_predict))
## 查看混淆矩阵 (预测值和真实值的各类情况统计矩阵)
confusion_matrix_result = metrics.confusion_matrix(test_predict,y_test)
print('The confusion matrix result:n',confusion_matrix_result)
# 利用热力图对于结果进行可视化
plt.figure(figsize=(8, 6))
sns.heatmap(confusion_matrix_result, annot=True, cmap='Blues')
plt.xlabel('Predicted labels')
plt.ylabel('True labels')
plt.show()
## 测试集大小为20%, 80%/20%分
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(iris_features, iris_target, test_size = 0.2, random_state = 2020)
## 定义 逻辑回归模型
clf = LogisticRegression(random_state=0, solver='lbfgs')
# 在训练集上训练逻辑回归模型
clf.fit(x_train, y_train)
## 在训练集和测试集上分布利用训练好的模型进行预测
train_predict = clf.predict(x_train)
test_predict = clf.predict(x_test)
## 由于逻辑回归模型是概率预测模型(前文介绍的 p = p(y=1|x,theta)),所有我们可以利用 predict_proba 函数预测其概率
train_predict_proba = clf.predict_proba(x_train)
test_predict_proba = clf.predict_proba(x_test)
print('The test predict Probability of each class:n',test_predict_proba)
## 其中第一列代表预测为0类的概率,第二列代表预测为1类的概率,第三列代表预测为2类的概率。
## 利用accuracy(准确度)【预测正确的样本数目占总预测样本数目的比例】评估模型效果
print('The accuracy of the Logistic Regression is:',metrics.accuracy_score(y_train,train_predict))
print('The accuracy of the Logistic Regression is:',metrics.accuracy_score(y_test,test_predict))
## 查看混淆矩阵
confusion_matrix_result = metrics.confusion_matrix(test_predict,y_test)
print('The confusion matrix result:n',confusion_matrix_result)
# 利用热力图对于结果进行可视化
plt.figure(figsize=(8, 6))
sns.heatmap(confusion_matrix_result, annot=True, cmap='Blues')
plt.xlabel('Predicted labels')
plt.ylabel('True labels')
plt.show()
3.总结
Logistic回归虽然名字里带“回归”,但是它实际上是一种分类方法,主要用于两分类问题(即输出只有两种,分别代表两个类别),所以利用了Logistic函数(或称为Sigmoid函数),函数形式为:
logi(z)=11+e−zlogi(z)=frac{1}{1+e^{-z}}
其对应的函数图像可以表示如下:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.arange(-5,5,0.01)
y = 1/(1+np.exp(-x))
plt.plot(x,y)
plt.xlabel('z')
plt.ylabel('y')
plt.grid()
plt.show()
通过上图我们可以发现 Logistic 函数是单调递增函数,并且在z=0的时候取值为0.5,并且logi(⋅)logi(cdot)函数的取值范围为(0,1)(0,1)。
而回归的基本方程为z=w0+∑iNwixiz=w_0+sum_i^N w_ix_i,
将回归方程写入其中为:
p=p(y=1∣x,θ)=hθ(x,θ)=11+e−(w0+∑iNwixi)p = p(y=1|x,theta) = h_theta(x,theta)=frac{1}{1+e^{-(w_0+sum_i^N w_ix_i)}}
所以, p(y=1∣x,θ)=hθ(x,θ)p(y=1|x,theta) = h_theta(x,theta),p(y=0∣x,θ)=1−hθ(x,θ)p(y=0|x,theta) = 1-h_theta(x,theta)
逻辑回归从其原理上来说,逻辑回归其实是实现了一个决策边界:对于函数 y=11+e−zy=frac{1}{1+e^{-z}},当 z=>0z=>0时,y=>0.5y=>0.5,分类为1,当 z<0z<0时,y<0.5y<0.5,分类为0,其对应的yy值我们可以视为类别1的概率预测值.
对于模型的训练而言:实质上来说就是利用数据求解出对应的模型的特定的ww。从而得到一个针对于当前数据的特征逻辑回归模型。
而对于多分类而言,将多个二分类的逻辑回归组合,即可实现多分类。