因果推断中的干预概念

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因果推断中的干预概念。

上一篇主要讲因果模型的形式化表示方法（结构因果模型）。从这一篇开始，主要围绕如何在现实场景中推断因果的问题展开叙述。首先，最理想的因果推断方法是随机化控制实验（randomized controlled experiments），即通过控制变量的随机化试验验证变量间的因果关系（问题如：统计数据表明纸尿裤和啤酒的销量成正相关，那么他俩之间存在因果关系吗？）。然而，随机化控制实验的要求过于严苛，以至于难以实行（例如，难以同时控制纸尿裤和啤酒的销量）。因此研究者试图通过观测研究（observational studies）探索因果关系，从中只记录数据，不控制变量。然而，记录的数据只能呈现相关性，不能呈现因果性。在此背景下，干预（intervention）作为一种因果推断的方法出现了。通俗而言，“干预”是指通过控制某些变量、观察其他变量的变化，从而验证因果性。例如，为了干预纸尿裤的销量，可以在试验期间关闭超市的纸尿裤贩售区（前提是和超市达成合作协议）。

干预

• 干预（intervention）：固定某些变量，改变整个系统，观察其他变量的变化
  • 与取条件（conditioning）的区别：取条件时，在行为上不固定/改变任何变量，仅仅“关注”被取条件的变量取某些固定值时，整个系统的状态。
  • 例：关闭纸尿裤贩售区，观察啤酒销量，是为干预；照常卖纸尿裤和啤酒，只看当纸尿裤数量小于1000时啤酒的销量，是为取条件。

在结构因果模型的有向图中，对某个变量的干预可以理解为删去图中所有指向该变量的有向边。例如：

干预前：

graph TB
Uz((Uz))
Z((Z))
Ux((Ux))
X((X))
Uy((Uy))
Y((Y))
Uz-->Z
Ux-->X
Z-->X
Z-->Y
Uy-->Y

对$X$实施干预后：

graph TB
Uz((Uz))
Z((Z))
Uy((Uy))
X((X))
Y((Y))
Uz-->Z
Z-->Y
Uy-->Y

注意到$U_x$是外源变量，不需要SCM负责建模。当$U_x$与$X$之间的有向边删去后，$U_x$没用就可以丢弃了。

do-操作

上文已讲，干预和取条件是两种不同的概念。为了对二者加以区分，使用do-操作表示干预。例如，如果通过干预使得变量$X$取值为$x$，则记为$do(X=x)$；如果取条件，则是$X=x$。在变量分布的意义上，

• $P(Y=y|X=x)$表示当样本的$X=x$时，$Y$的分布；
• $P(Y=y|do(X=x))$表示令所有样本的$X=x$时，$Y$的分布。

基于do操作，我们马上可以定义出因果效应差，即因果效应的强度：

$$P(Y=1|do(X=1))-P(Y=1|do(X=0))$$

而这正是学习笔记2中记录的ACE。

Adjustment formula

Adjustment formula描述了通过干预前分布推断干预后分布的方法，定义如下。其具体推导见参考文献1 p56-57.

$$P(Y=y|do(X=x))=\sum _{z}P(Y=y|X=x,Z=z)P(Z=z)$$

需要注意的是$Z$必须是$X$的父节点。下面给出Adjustment formula的严谨的形式化定义：

R1. 因果效应规则（The Causal Effect Rule）：给定有向图$G$，节点$X$和它的父节点（可能多个）$PA$，则$X$对$Y$的因果效应被定义为：

$$P(Y=y|do(X=x))=\sum _{z}P(Y=y|X=x,PA=z)P(PA=z)$$

其中$z$为所有属于$PA$的节点的联合取值。

Adjust formula对应模型-干预前：

graph TB
Z((Z))
X((X))
Y((Y))
Z-->X
Z-->Y
X-->Y

Adjust formula对应模型-干预后：

graph TB
Z((Z))
X((X))
Y((Y))
Z-->Y
X-->Y

Adjust formula提供了一种仅依靠观测数据（不用干预！）计算因果效应的方法。但该方法有一缺陷，即要求原因变量$X$的所有被SCM所假设的父节点都是可观测的。下面着手解决部分父节点不可观测时如何计算因果效应的问题。

参考文献

1. Judea Pearl, Madlyn Glymour, Nicholas P.Jewell.Causal Inference in Statistics: A Primer.2016.WILEY

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