文章内容
- 矩阵的初等变换
- 初等矩阵
- 矩阵的秩
- 矩阵分块
矩阵的初等变换
逆矩阵的求法
- 针对抽象矩阵:
- 定义法
- AA 和 BB 都是 nn 阶矩阵,求得 AB=EAB=E,则 A−1=BA^{-1}=B
- 定义法
- 针对具象矩阵:
- AA∗=A∗A=∣A∣EAA^*=A^*A=|A|E quad (仅针对二、三阶矩阵,超过三阶不考虑,计算太麻烦)
- 若 ∣A∣≠0|A| neq 0,则 A−1=A∗∣A∣,(A∗)−1=A∣A∣A^{-1}=frac {A^*}{|A|},(A^*)^{-1}=frac {A}{|A|}
- 初等变换
- (A∣E)=(E∣A−1)(A|E)=(E|A^{-1})
矩阵 AA 和 EE 横向排列时,只能用初等变换
- AA∗=A∗A=∣A∣EAA^*=A^*A=|A|E quad (仅针对二、三阶矩阵,超过三阶不考虑,计算太麻烦)
针对具象矩阵,用的最多的就是初等变换
初等变换
- 用一个非零常数 KK 乘以矩阵 AA 的某一 行/列
- 互换矩阵 AA 的某两 行/列
- 将矩阵 AA 的某 行/列 的 KK 倍加到另一 行/列
矩阵进行一次以上任一操作,则被称为进行了一次初等变换
碰到三阶矩阵求逆,如果比较麻烦,也可以用初等变换
如:
- 矩阵中的某一 行/列 乘以一个数:
- A=[123456789]∼第一行乘2[246456789]A=begin{bmatrix}1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}stackrel{第一行乘2}{sim}begin{bmatrix}2 & 4 & 6 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}
- 某一 行/列 乘以一个数后加到另一 行/列:
- A=[123456789]∼第一行乘2加到第二行[1236912789]A=begin{bmatrix}1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}stackrel{第一行乘2加到第二行}{sim}begin{bmatrix}1 & 2 & 3 6 & 9 & 12 7 & 8 & 9 end{bmatrix}
- 两 行/列 互换:
- A=[123456789]∼第一行和第二行互换[456123789]A=begin{bmatrix}1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}stackrel{第一行和第二行互换}{sim}begin{bmatrix}4 & 5 & 6 1 & 2 & 3 7 & 8 & 9 end{bmatrix}
与行列式对比,矩阵初等变换的第三项行列式需要改变符号,但矩阵不需要
对于行列式恒等变换,是恒等的,也就是中间是等号,而矩阵初等变换则是由一个矩阵变成了另一个矩阵,是不相同的,矩阵初等变换后数据改变,但秩不变,变换前后两个矩阵是等价的,下面会说明
利用初等变换求逆矩阵
已知矩阵 AA,找一个和矩阵 AA 形状一样的单位矩阵 EE,横向将矩阵 EE 拼接在矩阵 AA 的右边,经过数次初等变换后将新的矩阵的左边(原位矩阵 AA 的位置)变换为矩阵 EE 的形式,得到的新矩阵的右边(原为矩阵 EE 的位置)为原矩阵 AA 的逆矩阵
例:设 A=[0−2130−2−230]A=begin{bmatrix}0 & -2 & 1 3 & 0 & -2 -2 & 3 & 0 end{bmatrix},证明 AA 可逆,并求 A−1A^{-1}.
① 证明 AA 可逆
∣A∣=0+(−8)+9−0=1∣A∣≠0,故A可逆.begin{align}
&|A|=0+(-8)+9-0=1 notag
&|A| neq 0,故A可逆.
end{align}
② 初等变换法求A−1A^{-1} (也可以用 A−1=1∣A∣A∗A^{-1}=frac {1} {|A|}A^*,这里不再说明)
(A∣E)=(E∣A−1)(A|E)=(E|A^{-1})
与 AA 相同形状的单位矩阵 E=[100010001]E=begin{bmatrix}1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix},则(A∣E)=[0−2110030−2010−230001](A|E)=begin{bmatrix} 0 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 3 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 -2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 end{bmatrix}
初等变换:
[0−2110030−2010−230001]∼r1↔r2r3∗3+2r2[30−20100−2110009−4023]∼r3∗2+9r2begin{bmatrix} 0 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 3 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 -2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 end{bmatrix} stackrel{stackrel {r_3*3+2r_2}{r_1 leftrightarrow r_2}} {sim}
begin{bmatrix} 3 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 0 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 9 & -4 & 0 & 2 & 3 end{bmatrix} stackrel {r_3*2+9r_2} {sim}
[30−20100−21100001946]∼r2−r3r1+2r3[300189120−20−8−4−6001946]∼r2/−2r1/3begin{bmatrix} 3 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 0 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 9 & 4 & 6 end{bmatrix} stackrel {stackrel {r_1+2r_3} {r_2-r_3}} {sim}
begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 & 18 & 9 & 12 0 & -2 & 0 & -8 & -4 & -6 0 & 0 & 1 & 9 & 4 & 6 end{bmatrix} stackrel {stackrel {r_1 / 3} {r_2 / {-2}}} {sim}
[100634010423001946]begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 6 & 3 & 4 0 & 1 & 0 & 4 & 2 & 3 0 & 0 & 1 & 9 & 4 & 6 end{bmatrix}
变换结束得到 (E∣A−1)(E|A^{-1}) 的形式,则 A−1=[634423946]A^{-1}=begin{bmatrix}6 & 3 & 4 4 & 2 & 3 9 & 4 & 6 end{bmatrix}
通过这道例题也可以看出,在初等变换的时候,按照 先将左边对角线上以外位置的元素变换为0,再将对角线上元素变为1 这样的思路进行变换
需要注意的是,若将单位矩阵 EE 横向拼接在矩阵 AA 的右侧,则只能用 行 的初等变换,若将单位矩阵 EE 纵向拼接在矩阵 AA 的下侧,则只能用 列 的初等变换
一般情况下我们都是用横向的行变换,无论是行变换还是列变换都是一样的
初等矩阵
初等矩阵的定义
初等矩阵:由单位矩阵 EE 经过一次初等变换得到的矩阵叫做初等矩阵
初等矩阵的性质:初等矩阵都是可逆矩阵,且其逆矩阵仍是同一类型的初等矩阵
初等变换有三种形式,因此初等矩阵也有三种形式
如:
① E=[100010001]P1=[100020001]P1−1=[1000120001]qquad E=begin{bmatrix}1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix} quad
P_1=begin{bmatrix}1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix} quad
P_1^{-1}=begin{bmatrix}1 & 0 & 0 0 & frac 1 2 & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix}
② E=[100010001]P2=[010100001]P2−1=[010100001]qquad E=begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix} quad
P_2=begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix} quad
P_2^{-1}=begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix}
③ E=[100010001]P3=[100210001]P3−1=[100−210001]qquad E=begin{bmatrix}1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix} quad
P_3=begin{bmatrix}1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix} quad
P_3^{-1}=begin{bmatrix}1 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix}
① :第二 行/列 乘以2。如果是乘以 KK 的话,那逆矩阵对应 行/列 乘以 1Kfrac {1} {K}
② :第一 行/列 和第二 行/列 交换位置。这种方式逆矩阵和初等矩阵一样
③ :第一 行/列 乘以2后加到第一 行/列 上。某一 行/列 乘以 KK 倍加到另一 行/列 上,对应的逆矩阵为某一 行/列 乘以 −K-K 倍加到另一 行/列 上
初等矩阵和普通矩阵
左行右列
- 矩阵 AA 左乘初等矩阵,相当于对 AA 做了一次同类型的初等行变换
- 矩阵 AA 右乘初等矩阵,相当于对 AA 做了一次同类型的初等列变换
例:设 A=[123456789]P=[1000−20001]A=begin{bmatrix}1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}quad P=begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & -2 & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix},求PA,AP.
-
E=[100010001]∼r2∗−2P=[1000−20001]E = begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix} stackrel {r_2*{-2}} {sim}
P=begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & -2 & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix}EE 第二行乘以-2得到矩阵 PP
-
AA 左乘 PP:PA=[123−8−10−12789]PA=begin{bmatrix}1 & 2 & 3 -8 & -10 & -12 7 & 8 & 9 end{bmatrix},AA 右乘 PP:PA=[1−434−1067−169]PA=begin{bmatrix}1 & -4 & 3 4 & -10 & 6 7 & -16 & 9 end{bmatrix}
左/右 乘初等矩阵,矩阵 AA 做一次和 PP 同样的初等变换 (第 2 行/列 乘以-2)
例:已知 3 阶矩阵 AA 可逆,将 AA 的第 2 列和第 3 列交换得到矩阵 BB,再把矩阵 BB 的第 1 列的 -2 倍加至第三列得到矩阵 CC,求满足 PA−1=C−1PA^{-1}=C^{-1} 的矩阵 PP .
AA 的第 2 列和第 3 列交换得到矩阵 BB: B=A[100001010]B=Abegin{bmatrix}1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 end{bmatrix}
BB 的第1列的 -2 倍加至第3列得到 CC:C=B[10−2001010]=A[100001010][10−2001010]C=Bbegin{bmatrix}1 & 0 & -2 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 end{bmatrix} = Abegin{bmatrix}1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 end{bmatrix}begin{bmatrix}1 & 0 & -2 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 end{bmatrix}
则易得:C−1=(A[100001010][10−2001010])−1=[102001010][100001010]A−1C^{-1} = (Abegin{bmatrix}1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 end{bmatrix}begin{bmatrix}1 & 0 & -2 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 end{bmatrix})^{-1}=begin{bmatrix}1 & 0 & 2 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 end{bmatrix}begin{bmatrix}1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 end{bmatrix}A^{-1}
(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1},同理,(ABC)−1=C−1B−1A−1(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}
证明:过程比较简单,因为矩阵乘以矩阵还是一个矩阵,因此对于(ABC)^{-1}可以先把BC看成一个整体,则得到 (BC)−1A−1(BC)^{-1}A^{-1},再对 (BC)−1(BC)^{-1} 单独求出即可,结果为 C−1B−1A−1C^{-1}B^{-1}A^{-1}
初等矩阵求逆参照上面提到过的公式
由 PA−1=C−1PA^{-1}=C^{-1} 得:
PA−1=[102001010][100001010]A−1PA^{-1}=begin{bmatrix}1 & 0 & 2 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 end{bmatrix}begin{bmatrix}1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 end{bmatrix}A^{-1}
即: P=[102001010][100001010]=[120010001]P = begin{bmatrix}1 & 0 & 2 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 end{bmatrix}begin{bmatrix}1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 end{bmatrix}=begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix}
乘以初等矩阵,按照初等变换进行相同的变换即可
矩阵的秩
矩阵等价
矩阵 AA 经过有限次初等变换得到 BB,称矩阵 AA 和 BB 等价,记作 A∼BA sim B (考研用的符号是 =∼stackrel{sim} {=})
矩阵等价的充要条件
- A∼B⟷A sim B longleftrightarrow 存在可逆矩阵 PP 和 QQ 使得 PAQ=B⟷R(A)=R(B)PAQ=B longleftrightarrow R(A)=R(B)
- 一般直接记:A∼B⟷R(A)=R(B)A sim B longleftrightarrow R(A)=R(B)
R(A)R(A) 表示 矩阵 AA 的秩,矩阵 AA 和 BB 等价则两矩阵秩相同,反之也成立。
初等变换保秩 (不改变矩阵的秩)
定义法求矩阵的秩
矩阵 AA 中非零子式的最高阶数称为矩阵 AA 的秩,记作 R(A)R(A)
子式就是行列式,矩阵 AA 的子式就是指矩阵 AA 对应的行列式中包含的子行列式
行列式本质上就是一个数值,非零子式就是指值不为0的行列式
例:A=[123246]A=begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 4 & 6 end{bmatrix},求矩阵 AA 的秩
矩阵 AA 的 2 阶子式 (2*2):
[1224][2346][1326]begin{bmatrix} 1 & 2 2 & 4 end{bmatrix} quad
begin{bmatrix} 2 & 3 4 & 6 end{bmatrix} quad
begin{bmatrix} 1 & 3 2 & 6 end{bmatrix},这 3 个子式值都为 0
矩阵 AA 的 1 阶子式 (1*1):[1][2][3][4][5][6][1] quad [2] quad [3] quad [4] quad [5] quad [6],这 6 个子式都是非零子式
非零子式的最高阶为1,因此 R(A)=1R(A)=1
例:求矩阵 AA 的秩,其中 A=[12323−5471]A=begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 3 & -5 4 & 7 & 1 end{bmatrix}
AA 的3阶子式只有一个,∣A∣=∣12323−5471∣=0|A|=begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 3 & -5 4 & 7 & 1 end{vmatrix}=0
AA 的二阶子式中,易得 ∣1223∣≠0begin{vmatrix} 1 & 2 2 & 3 end{vmatrix} neq 0,则 R(A)=2R(A)=2.
利用行阶梯矩阵求矩阵的秩
定义法求矩阵的秩相对比较麻烦,该方法更简单
行阶梯矩阵:元素全为零的行 (如果存在) 在最后一行,并且每行从左往右开始数第一个非零元素所在列的下方元素全为0,这种矩阵被称为行阶梯矩阵。
如:
这种矩阵因为在非零元素和零元素的分界线像是一个阶梯,且是按行定义,所以被称为行阶梯矩阵
矩阵 AA 的秩等于它对应的行阶梯矩阵非零行的行数
行阶梯矩阵有 nn 行不是全为零,则秩就为 nn
如:A=[123401230000],R(A)=2A = begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix},R(A)=2
例:求矩阵 BB 的秩,其中 B=[320503−236−12015−316−4−14]B=begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 & 5 & 0 3 & -2 & 3 & 6 & -1 2 & 0 & 1 & 5 & -3 1 & 6 & -4 & -1 & 4 end{bmatrix}
初等变换不改变矩阵的秩,对矩阵 BB 做初等变换,将其变换为行阶梯矩阵:
B=B=[320503−236−12015−316−4−14]∼r1↔r4[16−4−143−236−12015−332050]∼r4−3r1r3−2r1r2−3r1B = B=begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 & 5 & 0 3 & -2 & 3 & 6 & -1 2 & 0 & 1 & 5 & -3 1 & 6 & -4 & -1 & 4 end{bmatrix} stackrel {r_1 leftrightarrow r4} {sim} begin{bmatrix} 1 & 6 & -4 & -1 & 4 3 & -2 & 3 & 6 & -1 2 & 0 & 1 & 5 & -3 3 & 2 & 0 & 5 & 0 end{bmatrix} stackrel {stackrel {stackrel {r_2 – 3r_1} {r_3 – 2r_1}} {r_4 – 3r_1}} {sim}
[16−4−140−431−10−1297−110−16128−12]∼r4−4r2r3−3r2[16−4−140−431−10004−80004−8]∼r4−r3begin{bmatrix} 1 & 6 & -4 & -1 & 4 0 & -4 & 3 & 1 & -1 0 & -12 & 9 & 7 & -11 0 & -16 & 12 & 8 & -12 end{bmatrix} stackrel {stackrel {r_3-3r_2} {r_4-4r_2}} {sim} begin{bmatrix} 1 & 6 & -4 & -1 & 4 0 & -4 & 3 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 4 & -8 0 & 0 & 0 & 4 & -8 end{bmatrix} stackrel {r_4-r_3} {sim}
[16−4−140−431−10004−800000] begin{bmatrix} 1 & 6 & -4 & -1 & 4 0 & -4 & 3 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 4 & -8 0 & 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}
则 R(B)=3R(B)=3
变换行阶梯矩阵时,第一步通常都是把列中最上方元素化为 1,这样可以很容易通过该元素将当前列下方的元素都消为 0
例:设 A=[12−1132λ−1563μ]A = begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 3 & 2 & lambda & -1 5 & 6 & 3 & mu end{bmatrix},已知 R(A)=2R(A)=2,求 λlambda 和 μmu 的值.
A=[12−1132λ−1563μ]∼r3−5r1r2−3r1[12−110−4λ+3−40−48μ−5]∼r3−r2A = begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 3 & 2 & lambda & -1 5 & 6 & 3 & mu end{bmatrix} stackrel {stackrel {r_2 – 3r_1} {r_3 – 5r_1}} {sim} begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 0 & -4 & lambda+3 & -4 0 & -4 & 8 & mu-5 end{bmatrix} stackrel {r_3-r_2} {sim}
[12−110−4λ+3−4005−λμ−1]begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 0 & -4 & lambda+3 & -4 0 & 0 & 5-lambda & mu-1 end{bmatrix}
已知 RA=2R_{A}=2,则 5−λ=0,μ−1=05-lambda=0,mu-1=0,得 λ=5,μ=1lambda=5,mu=1
矩阵求秩公式
- R(KA)=R(A)(K≠0)R(KA) = R(A) quad (K neq 0)
- R(A)=R(AT)R(A)=R(A^T)
- R(Am∗n)≤min{m,n}R(A_{m*n}) le min {m,n}
- AA 可逆 →R(AB)=R(B)rightarrow R(AB)=R(B)
可逆矩阵乘以目标矩阵,不改变目标矩阵的秩
- R(AB)≤min{R(A),R(B)}R(AB) le min {R(A),R(B)}
- R(A+B)≤R(A)+R(B)R(A+B) le R(A)+R(B)
- Am∗nBn∗s=0,则R(A)+R(B)≤nA_{m*n}B_{n*s}=0,则 R(A)+R(B) le n
- R(A)=R(ATA)=R(AAT)=R(AT)R(A)=R(A^TA)=R(AA^T)=R(A^T)
例:A=[1212a3245]A=begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 2 & a & 3 2 & 4 & 5 end{bmatrix}, BB 是 3∗43*4 的非零矩阵,且 AB=0AB=0,求 R(B)R(B).
已知 BB 为3∗43*4 的非零矩阵,则 1≤R(B)≤31 le R(B) le 3
对于矩阵 AA,易得子式 ∣1125∣≠0begin{vmatrix} 1 & 1 2 & 5 end{vmatrix} neq 0 ,由于 aa 的值未知,三阶子式结果未知,2≤R(A)≤32 le R(A) le 3
由于 AB=0AB=0 且 AA 的列数与 BB 的行数相等,则 R(A)+R(B)≤3R(A) + R(B) le 3
即:{1≤R(B)≤32≤R(A)≤3R(A)+R(B)≤3begin{cases} 1 le R(B) le 3 2 le R(A) le 3 R(A)+R(B) le 3 end{cases},易得 R(A)=2,R(B)=1R(A)=2,R(B)=1.
矩阵分块
矩阵分块的原则
可以将一个矩阵中不同部分进行分块处理,将一个矩阵分为多个块,使用处理后的矩阵进行运算
例:设 A=[10000100−12101101],B=[1010−12011041−1−120]A=begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 -1 & 2 & 1 & 0 1 & 1 & 0 & 1 end{bmatrix},B=begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 -1 & 2 & 0 & 1 1 & 0 & 4 & 1 -1 & -1 & 2 & 0 end{bmatrix} ,求 ABAB.
矩阵 A,BA,B 分块:
记:A=[EOA12E],B=[B11EB12B22]A=begin{bmatrix} E & O A_{12} & E end{bmatrix},B=begin{bmatrix} B_{11} & E B_{12} & B_{22} end{bmatrix}
则 AB=[EOA12E][B11EB12B22]=[B11EA12B11+B12A12+B22]AB=begin{bmatrix} E & O A_{12} & E end{bmatrix}begin{bmatrix} B_{11} & E B_{12} & B_{22} end{bmatrix} = begin{bmatrix} B_{11} & E A_{12}B_{11}+B_{12} & A_{12}+B_{22} end{bmatrix}
而:
A12B11+B12=[−1211][10−12]+[10−1−1]=[−24−11]A_{12}B_{11}+B_{12}=begin{bmatrix} -1 & 2 1 & 1 end{bmatrix} begin{bmatrix} 1 & 0 -1 & 2end{bmatrix} + begin{bmatrix} 1 & 0 -1 & -1 end{bmatrix} = begin{bmatrix} -2 & 4 -1 & 1 end{bmatrix}
A12+B22=[−1211]+[4120]=[3331]A_{12}+B_{22}=begin{bmatrix} -1 & 2 1 & 1 end{bmatrix}+begin{bmatrix} 4 & 1 2 & 0 end{bmatrix}= begin{bmatrix} 3 & 3 3 & 1 end{bmatrix}
故 AB=[B11EA12B11+B12A12+B22]=[1010−1201−2433−1131]AB=begin{bmatrix} B_{11} & E A_{12}B_{11}+B_{12} & A_{12}+B_{22} end{bmatrix}= begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 -1 & 2 & 0 & 1 -2 & 4 & 3 & 3 -1 & 1 & 3 & 1 end{bmatrix}
矩阵块作为矩阵元素进行相乘也遵循矩阵相乘的规则
矩阵块命名一定要规范
矩阵分块原则上可以随便划分,但在划分的时候我们一般会找一些特征性强的来进行划分,例如上面例题中划分后得到的零矩阵 OO,单位矩阵 EE 等,有目的地去分块会大大提高我们的计算效率.
利用矩阵分块求逆矩阵
矩阵块公式
-
[A00B]n=[An00Bn]begin{bmatrix} A & 0 0 & B end{bmatrix}^n=begin{bmatrix} A^n & 0 0 & B^n end{bmatrix}
-
[A00B]−1=[A−100B−1]begin{bmatrix} A & 0 0 & B end{bmatrix}^{-1}=begin{bmatrix} A^{-1} & 0 0 &B^{-1} end{bmatrix}
-
[0AB0]−1=[0B−1A−10]begin{bmatrix} 0 & A B & 0 end{bmatrix}^{-1} = begin{bmatrix} 0 & B^{-1} A^{-1} & 0 end{bmatrix}
对于只有一个数字作为元素的矩阵求逆,由 AB=EAB=E 得,该矩阵的逆矩阵中的元素为原数字的倒数,例:A=[5],A−1=[15]A=[5],A^{-1}=[frac {1}{5}].
对于分块后得到的 2 阶矩阵求逆,主对调,副变号 不适用
对于对角矩阵,上方的三个公式也适用,不过其对应逆矩阵中元素都变为原来的倒数
例:设 A=[500031021]A= begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 0 & 3 & 1 0 & 2 & 1 end{bmatrix},求 A−1A^{-1}
矩阵分块:A=[A11OOA12]A = begin{bmatrix} A_{11} & O O & A_{12} end{bmatrix}
A−1=[A11−1OOA12−1]=[150001−10−23]A^{-1} = begin{bmatrix} A_{11}^{-1} & O O & A_{12^{-1}} end{bmatrix} = begin{bmatrix} frac {1}{5} & 0 & 0 0 & 1 & -1 0 & -2 & 3end{bmatrix}