文章内容

• 矩阵的初等变换
• 初等矩阵
• 矩阵的秩
• 矩阵分块

矩阵的初等变换

逆矩阵的求法

• 针对抽象矩阵：
  1. 定义法
     • $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶矩阵，求得 $AB=E$，则 $A^{-1}=B$
• 针对具象矩阵：
  1. $A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$ (仅针对二、三阶矩阵，超过三阶不考虑，计算太麻烦)
     • 若 $|A|\ne 0$，则 $A^{-1}=\frac{A^{\ast }}{|A|}，(A^{\ast }{)}^{-1}=\frac{A}{|A|}$
  2. 初等变换
     • $(A|E)=(E|A^{-1})$

  矩阵 $A$ 和 $E$ 横向排列时，只能用初等变换

针对具象矩阵，用的最多的就是初等变换

初等变换

1. 用一个非零常数 $K$ 乘以矩阵 $A$ 的某一 行/列
2. 互换矩阵 $A$ 的某两 行/列
3. 将矩阵 $A$ 的某 行/列 的 $K$ 倍加到另一 行/列

矩阵进行一次以上任一操作，则被称为进行了一次初等变换

碰到三阶矩阵求逆，如果比较麻烦，也可以用初等变换

如：

• 矩阵中的某一 行/列 乘以一个数：
  • $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]\stackrel{第一行乘2}{\sim }\left[\begin{array}{ccc}2& 4& 6\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]$
• 某一 行/列 乘以一个数后加到另一 行/列：
  • $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]\stackrel{第一行乘2加到第二行}{\sim }\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 6& 9& 12\\ 7& 8& 9\end{array}\right]$
• 两 行/列 互换：
  • $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]\stackrel{第一行和第二行互换}{\sim }\left[\begin{array}{ccc}4& 5& 6\\ 1& 2& 3\\ 7& 8& 9\end{array}\right]$

与行列式对比，矩阵初等变换的第三项行列式需要改变符号，但矩阵不需要

对于行列式恒等变换，是恒等的，也就是中间是等号，而矩阵初等变换则是由一个矩阵变成了另一个矩阵，是不相同的，矩阵初等变换后数据改变，但秩不变，变换前后两个矩阵是等价的，下面会说明

利用初等变换求逆矩阵

已知矩阵 $A$，找一个和矩阵 $A$ 形状一样的单位矩阵 $E$，横向将矩阵 $E$ 拼接在矩阵 $A$ 的右边，经过数次初等变换后将新的矩阵的左边(原位矩阵 $A$ 的位置)变换为矩阵 $E$ 的形式，得到的新矩阵的右边(原为矩阵 $E$ 的位置)为原矩阵 $A$ 的逆矩阵

例：设 $A=\left[\begin{array}{ccc}0& -2& 1\\ 3& 0& -2\\ -2& 3& 0\end{array}\right]$，证明 $A$ 可逆，并求 $A^{-1}$.

① 证明 $A$ 可逆

$$\begin{array}{rl}& |A|=0+(-8)+9-0=1\\ & |A|\ne 0,故A可逆.\end{array}$$

② 初等变换法求$A^{-1}$ (也可以用 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$，这里不再说明)

$(A|E)=(E|A^{-1})$

与 $A$ 相同形状的单位矩阵 $E=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$，则$(A|E)=\left[\begin{array}{cccccc}0& -2& 1& 1& 0& 0\\ 3& 0& -2& 0& 1& 0\\ -2& 3& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

初等变换：
$\left[\begin{array}{cccccc}0& -2& 1& 1& 0& 0\\ 3& 0& -2& 0& 1& 0\\ -2& 3& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\stackrel{\stackrel{r_3\ast 3+2r_2}{r_1\leftrightarrow r_2}}{\sim }\left[\begin{array}{cccccc}3& 0& -2& 0& 1& 0\\ 0& -2& 1& 1& 0& 0\\ 0& 9& -4& 0& 2& 3\end{array}\right]\stackrel{r_3\ast 2+9r_2}{\sim }$

$\left[\begin{array}{cccccc}3& 0& -2& 0& 1& 0\\ 0& -2& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 9& 4& 6\end{array}\right]\stackrel{\stackrel{r_1+2r_3}{r_2-r_3}}{\sim }\left[\begin{array}{cccccc}3& 0& 0& 18& 9& 12\\ 0& -2& 0& -8& -4& -6\\ 0& 0& 1& 9& 4& 6\end{array}\right]\stackrel{\stackrel{r_1/3}{r_2/-2}}{\sim }$

$\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 6& 3& 4\\ 0& 1& 0& 4& 2& 3\\ 0& 0& 1& 9& 4& 6\end{array}\right]$

变换结束得到 $(E|A^{-1})$ 的形式，则 $A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}6& 3& 4\\ 4& 2& 3\\ 9& 4& 6\end{array}\right]$

通过这道例题也可以看出，在初等变换的时候，按照 先将左边对角线上以外位置的元素变换为0，再将对角线上元素变为1 这样的思路进行变换

需要注意的是，若将单位矩阵 $E$ 横向拼接在矩阵 $A$ 的右侧，则只能用 行 的初等变换，若将单位矩阵 $E$ 纵向拼接在矩阵 $A$ 的下侧，则只能用 列 的初等变换

一般情况下我们都是用横向的行变换，无论是行变换还是列变换都是一样的

初等矩阵

初等矩阵的定义

初等矩阵：由单位矩阵 $E$ 经过一次初等变换得到的矩阵叫做初等矩阵

初等矩阵的性质：初等矩阵都是可逆矩阵，且其逆矩阵仍是同一类型的初等矩阵

初等变换有三种形式，因此初等矩阵也有三种形式

如：

① $E=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]P_1=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]P_1^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

② $E=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]P_2=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]P_2^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

③ $E=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]P_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]P_3^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

① ：第二 行/列 乘以2。如果是乘以 $K$ 的话，那逆矩阵对应 行/列 乘以 $\frac{1}{K}$

② ：第一 行/列 和第二 行/列 交换位置。这种方式逆矩阵和初等矩阵一样

③ ：第一 行/列 乘以2后加到第一 行/列 上。某一 行/列 乘以 $K$ 倍加到另一 行/列 上，对应的逆矩阵为某一 行/列 乘以 $-K$ 倍加到另一 行/列 上

初等矩阵和普通矩阵

左行右列

• 矩阵 $A$ 左乘初等矩阵，相当于对 $A$ 做了一次同类型的初等行变换
• 矩阵 $A$ 右乘初等矩阵，相当于对 $A$ 做了一次同类型的初等列变换

例：设 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]P=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$，求PA，AP.

• $E=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\stackrel{r_2\ast -2}{\sim }P=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

  $E$ 第二行乘以-2得到矩阵 $P$

• $A$ 左乘 $P$：$PA=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ -8& -10& -12\\ 7& 8& 9\end{array}\right]$，$A$ 右乘 $P$：$PA=\left[\begin{array}{ccc}1& -4& 3\\ 4& -10& 6\\ 7& -16& 9\end{array}\right]$

  左/右 乘初等矩阵，矩阵 $A$ 做一次和 $P$ 同样的初等变换 (第 2 行/列 乘以-2)

例：已知 3 阶矩阵 $A$ 可逆，将 $A$ 的第 2 列和第 3 列交换得到矩阵 $B$，再把矩阵 $B$ 的第 1 列的 -2 倍加至第三列得到矩阵 $C$，求满足 $P{A}^{-1}=C^{-1}$ 的矩阵 $P$ .

$A$ 的第 2 列和第 3 列交换得到矩阵 $B$： $B=A\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$

$B$ 的第1列的 -2 倍加至第3列得到 $C$：$C=B\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -2\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]=A\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -2\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$

则易得：$C^{-1}=(A\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -2\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]{)}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]A^{-1}$

$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$，同理，$(ABC{)}^{-1}=C^{-1}{B}^{-1}{A}^{-1}$

证明：过程比较简单，因为矩阵乘以矩阵还是一个矩阵，因此对于(ABC)^{-1}可以先把BC看成一个整体，则得到 $(BC{)}^{-1}{A}^{-1}$，再对 $(BC{)}^{-1}$ 单独求出即可，结果为 $C^{-1}{B}^{-1}{A}^{-1}$

初等矩阵求逆参照上面提到过的公式

由 $P{A}^{-1}=C^{-1}$ 得：
$P{A}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]A^{-1}$

即： $P=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

乘以初等矩阵，按照初等变换进行相同的变换即可

矩阵的秩

矩阵等价

矩阵 $A$ 经过有限次初等变换得到 $B$，称矩阵 $A$ 和 $B$ 等价，记作 $A\sim B$ (考研用的符号是 $\stackrel{\sim }{=}$)

矩阵等价的充要条件

• $A\sim B⟷$ 存在可逆矩阵 $P$ 和 $Q$ 使得 $PAQ=B⟷R(A)=R(B)$
• 一般直接记：$A\sim B⟷R(A)=R(B)$

$R(A)$ 表示 矩阵 $A$ 的秩，矩阵 $A$ 和 $B$ 等价则两矩阵秩相同，反之也成立。

初等变换保秩 (不改变矩阵的秩)

定义法求矩阵的秩

矩阵 $A$ 中非零子式的最高阶数称为矩阵 $A$ 的秩，记作 $R(A)$

子式就是行列式，矩阵 $A$ 的子式就是指矩阵 $A$ 对应的行列式中包含的子行列式

行列式本质上就是一个数值，非零子式就是指值不为0的行列式

例：$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\end{array}\right]$，求矩阵 $A$ 的秩

矩阵 $A$ 的 2 阶子式 (2*2)：
$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 6\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 6\end{array}\right]$，这 3 个子式值都为 0

矩阵 $A$ 的 1 阶子式 (1*1)：$[1][2][3][4][5][6]$，这 6 个子式都是非零子式

非零子式的最高阶为1，因此 $R(A)=1$

例：求矩阵 $A$ 的秩，其中 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& -5\\ 4& 7& 1\end{array}\right]$

$A$ 的3阶子式只有一个，$|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& -5\\ 4& 7& 1\end{array}\right|=0$

$A$ 的二阶子式中，易得 $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right|\ne 0$，则 $R(A)=2$.

利用行阶梯矩阵求矩阵的秩

定义法求矩阵的秩相对比较麻烦，该方法更简单

行阶梯矩阵：元素全为零的行 (如果存在) 在最后一行，并且每行从左往右开始数第一个非零元素所在列的下方元素全为0，这种矩阵被称为行阶梯矩阵。

如：

这种矩阵因为在非零元素和零元素的分界线像是一个阶梯，且是按行定义，所以被称为行阶梯矩阵

矩阵 $A$ 的秩等于它对应的行阶梯矩阵非零行的行数

行阶梯矩阵有 $n$ 行不是全为零，则秩就为 $n$

如：$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& 1& 2& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]，R(A)=2$

例：求矩阵 $B$ 的秩，其中 $B=\left[\begin{array}{ccccc}3& 2& 0& 5& 0\\ 3& -2& 3& 6& -1\\ 2& 0& 1& 5& -3\\ 1& 6& -4& -1& 4\end{array}\right]$

初等变换不改变矩阵的秩，对矩阵 $B$ 做初等变换，将其变换为行阶梯矩阵：

$B=B=\left[\begin{array}{ccccc}3& 2& 0& 5& 0\\ 3& -2& 3& 6& -1\\ 2& 0& 1& 5& -3\\ 1& 6& -4& -1& 4\end{array}\right]\stackrel{r_1\leftrightarrow r4}{\sim }\left[\begin{array}{ccccc}1& 6& -4& -1& 4\\ 3& -2& 3& 6& -1\\ 2& 0& 1& 5& -3\\ 3& 2& 0& 5& 0\end{array}\right]\stackrel{\stackrel{\stackrel{r_2-3r_1}{r_3-2r_1}}{r_4-3r_1}}{\sim }$

$\left[\begin{array}{ccccc}1& 6& -4& -1& 4\\ 0& -4& 3& 1& -1\\ 0& -12& 9& 7& -11\\ 0& -16& 12& 8& -12\end{array}\right]\stackrel{\stackrel{r_3-3r_2}{r_4-4r_2}}{\sim }\left[\begin{array}{ccccc}1& 6& -4& -1& 4\\ 0& -4& 3& 1& -1\\ 0& 0& 0& 4& -8\\ 0& 0& 0& 4& -8\end{array}\right]\stackrel{r_4-r_3}{\sim }$

$\left[\begin{array}{ccccc}1& 6& -4& -1& 4\\ 0& -4& 3& 1& -1\\ 0& 0& 0& 4& -8\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

则 $R(B)=3$

变换行阶梯矩阵时，第一步通常都是把列中最上方元素化为 1，这样可以很容易通过该元素将当前列下方的元素都消为 0

例：设 $A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 1\\ 3& 2& \lambda & -1\\ 5& 6& 3& \mu \end{array}\right]$，已知 $R(A)=2$，求 $\lambda$ 和 $\mu$ 的值.

$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 1\\ 3& 2& \lambda & -1\\ 5& 6& 3& \mu \end{array}\right]\stackrel{\stackrel{r_2-3r_1}{r_3-5r_1}}{\sim }\left[\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 1\\ 0& -4& \lambda +3& -4\\ 0& -4& 8& \mu -5\end{array}\right]\stackrel{r_3-r_2}{\sim }$

$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 1\\ 0& -4& \lambda +3& -4\\ 0& 0& 5-\lambda & \mu -1\end{array}\right]$

已知 $R_A=2$，则 $5-\lambda =0，\mu -1=0$，得 $\lambda =5，\mu =1$

矩阵求秩公式

• $R(KA)=R(A)(K\ne 0)$
• $R(A)=R(A^T)$
• $R(A_{m\ast n})\le min\{m,n\}$
• $A$ 可逆 $\to R(AB)=R(B)$
  

  可逆矩阵乘以目标矩阵，不改变目标矩阵的秩

• $R(AB)\le min\{R(A),R(B)\}$
• $R(A+B)\le R(A)+R(B)$
• $A_{m\ast n}{B}_{n\ast s}=0，则R(A)+R(B)\le n$
• $R(A)=R(A^{T}A)=R(A{A}^T)=R(A^T)$

例：$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& a& 3\\ 2& 4& 5\end{array}\right]$， $B$ 是 $3\ast 4$ 的非零矩阵，且 $AB=0$，求 $R(B)$.

已知 $B$ 为$3\ast 4$ 的非零矩阵，则 $1\le R(B)\le 3$

对于矩阵 $A$，易得子式 $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 5\end{array}\right|\ne 0$ ，由于 $a$ 的值未知，三阶子式结果未知，$2\le R(A)\le 3$

由于 $AB=0$ 且 $A$ 的列数与 $B$ 的行数相等，则 $R(A)+R(B)\le 3$

即：$\{\begin{array}{l}1\le R(B)\le 3\\ 2\le R(A)\le 3\\ R(A)+R(B)\le 3\end{array}$，易得 $R(A)=2，R(B)=1$.

矩阵分块

矩阵分块的原则

可以将一个矩阵中不同部分进行分块处理，将一个矩阵分为多个块，使用处理后的矩阵进行运算

例：设 $A=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -1& 2& 1& 0\\ 1& 1& 0& 1\end{array}\right]，B=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ -1& 2& 0& 1\\ 1& 0& 4& 1\\ -1& -1& 2& 0\end{array}\right]$，求 $AB$.

矩阵 $A，B$ 分块：

记：$A=\left[\begin{array}{cc}E& O\\ A_{12}& E\end{array}\right]，B=\left[\begin{array}{cc}{B}_{11}& E\\ B_{12}& B_{22}\end{array}\right]$

则 $AB=\left[\begin{array}{cc}E& O\\ A_{12}& E\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{B}_{11}& E\\ B_{12}& B_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{B}_{11}& E\\ A_{12}{B}_{11}+B_{12}& A_{12}+B_{22}\end{array}\right]$

而：

$A_{12}{B}_{11}+B_{12}=\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-2& 4\\ -1& 1\end{array}\right]$

$A_{12}+B_{22}=\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}4& 1\\ 2& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 3\\ 3& 1\end{array}\right]$

故 $AB=\left[\begin{array}{cc}{B}_{11}& E\\ A_{12}{B}_{11}+B_{12}& A_{12}+B_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ -1& 2& 0& 1\\ -2& 4& 3& 3\\ -1& 1& 3& 1\end{array}\right]$

矩阵块作为矩阵元素进行相乘也遵循矩阵相乘的规则

矩阵块命名一定要规范

矩阵分块原则上可以随便划分，但在划分的时候我们一般会找一些特征性强的来进行划分，例如上面例题中划分后得到的零矩阵 $O$，单位矩阵 $E$ 等，有目的地去分块会大大提高我们的计算效率.

利用矩阵分块求逆矩阵

矩阵块公式

1. ${\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right]}^n=\left[\begin{array}{cc}{A}^n& 0\\ 0& B^n\end{array}\right]$

2. ${\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{A}^{-1}& 0\\ 0& B^{-1}\end{array}\right]$

3. ${\left[\begin{array}{cc}0& A\\ B& 0\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}0& B^{-1}\\ A^{-1}& 0\end{array}\right]$

对于只有一个数字作为元素的矩阵求逆，由 $AB=E$ 得，该矩阵的逆矩阵中的元素为原数字的倒数，例：$A=[5]，A^{-1}=[\frac{1}{5}]$.

对于分块后得到的 2 阶矩阵求逆，主对调，副变号 不适用

对于对角矩阵，上方的三个公式也适用，不过其对应逆矩阵中元素都变为原来的倒数

例：设 $A=\left[\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& 3& 1\\ 0& 2& 1\end{array}\right]$，求 $A^{-1}$

矩阵分块：$A=\left[\begin{array}{cc}{A}_{11}& O\\ O& A_{12}\end{array}\right]$

$A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{A}_{11}^{-1}& O\\ O& A_{12^{-1}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{5}& 0& 0\\ 0& 1& -1\\ 0& -2& 3\end{array}\right]$