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导语

本系列笔记为b站Shusen Wang老师的强化学习课程笔记，整体按照老师讲课的思路来记录。本节课主要介绍DQN和利用TD算法来训练DQN。

Action-Value Function回顾

Return $U_t$依赖于从t时刻开始的每一个动作At和状态St，二者都具有随机性。因而$U_t$也具有随机性。

我们可以对A和S求积分，可以把他们消掉，只剩下$s_t,a_t$，得到$Q_{\pi }(s_t,a_t)$。

进一步，我们可以通过对$\pi$求最大，可以消掉Policy函数$\pi$，得到最优的动作价值函数$Q^{\star }$。他代表了在当前状态$s_t$下不管采用怎样的策略，要使Agent做动作$a_t$，那么回报订多就是$Q^{\star }(s_t,a_t)$，不会更好。

$Q^{\star }$函数与Policy无关，他告诉我们基于当前状态$s_t$做出动作$a_t$的好坏程度，所以$Q^{\star }$函数可以指导Agent做决策。Agent观测到当前的状态$s_t$,$Q^{\star }$函数可以对所有的动作打分，例如向左是1分，向上是5分，然后Agent可以根据分数来做决策。

Deep Q-Network (DQN)

DQN其实就是用一个神经网络来近似Q函数，$Q^{\star }$可以告诉我们选择哪种动作的平均回报。

然而，我们肯定无法精确得到$Q^{\star }$，但是我们可以通过一个神经网络来近似，并将神经网络记作$Q(s,a;w)$。神经网络的参数是w,其输入是状态s，输出是对每个动作的打分，每个动作对应于一个分数。我们用奖励作为监督信号来训练这个DQN，比如我们让模型玩上万局超级玛丽，这个神经网络就可以很精确的学到$Q^{\star }$，就可以给出非常精准的预测。

对于不同的问题，DQN的结构可能不一样。这里举个例子，假如是玩超级玛丽，那么可以把当前的画面作为状态s经过一个卷积层成为特征向量，最后用几个全连接层把输出映射到输出向量，为对每一个动作的打分。

例如，上图的示例中向左是2000分，向上是3000分最大，所以此时应该选择向上。更加规范化的表示如下：

TD算法

训练DQN的最常用算法就是Temporal Difference (TD) Learning，即TD算法。

TD算法比较复杂，这里用一个例子先来解释一下。

假设我们想开车从纽约到亚特兰大，有一个模型$Q(w)$可以预测开车出行的时间开销，假设一开始模型给出了估计值为1000分钟，这个值可能是一个随机的数值，但是随着用的人越来越多，可能模型给出的估计就会越来越准确。

但问题是：我们需要什么样的数据，又该如何更新模型？

一个最简单的方法：首先，出发前让模型给出一个预测q，比如q=1000。到了亚特兰大后，发现实际耗时为860，把这个作为target，就得到了损失L，用L去求对w的梯度，

有了梯度就可以进行梯度下降，对模型进行更新。这种算法比较朴素，即必须完整的完成一次旅途，才能对模型进行一次更新。这里有个问题：假如我们没有完成整个旅途，到了半路就不走了，那么这种情况下能否更新模型，比如我们路上到了华盛顿就结束旅途，实际上花费了300分钟。

这时，模型给出了从华盛顿到亚特兰大的估计是600，那么这时候整体的估计y=300+600=900，是一个更加可信的值。然后可以求梯度，进行梯度下降更新。

TD算法

DQN中应用TD算法

TD算法可以在不完成一次全程旅途的过程中对模型参数进行更新，将它应用到强化学习中也是同样的道理，我们不需要打完一局游戏，就能对DQN模型参数进行更新。

要想应用这个算法，那么要有以下的关系，即从纽约到亚特兰大的时间等于从纽约到华盛顿，再从华盛顿到亚特兰大的时间。那在强化学习中，也需要有类似这样的关系，等式的两侧都有一项估计值，而右边需要有一项真实观测值。而在强化学习中，也有这样一个公式，等式左边是DQN在t时刻做的估计，这是未来奖励总和的期望，等式右边有一项$r_t$是真实观测到的奖励。

接下来介绍一下为什么强化学习中存在这个公式，我们来回顾一下Discounted Return，

通过将其展开提取$\gamma$，可以得到下面的等式，即

$$U_t=R_t+\gamma \cdot U_{t+1}$$

接下来需要将TD算法用到DQN上，DQN的输出$Q(s_t,a_t;w)$是对$U_t$的期望做出的估计。 在下一时刻，DQN的输出$Q(s_{t+1},a_{t+1};w)$是对$U_{t+1}$的估计。

左边是t时刻的预测，右边是$r_t$和t+1时刻的预测。

有了这个关系后，在t时刻，模型做出了预测$Q(s_t,a_t,;w_t)$，这里的$s_t$是当前的状态，$a_t$是已经做出的动作，$w_t$是模型当前的参数。

到了t+1时刻，我们观测到了真实的奖励$r_t$，还观测到了新的状态$s_{t+1}$，有了状态$s_{t+1}$，我们就可以用DQN算出下一个动作$a_{t+1}$，在t+1时刻，我们知道了$r_t,s_{t+1},a_{t+1}$，我们就可以计算TD target $y_t$，他等于奖励$r_t$和$\gamma$乘上DQN在$t+1$时刻的预测。
而t+1时刻的动作$a_{t+1}$是通过DQN对每个动作进行打分，然后取得分最大的那个动作得到的。

最终的Loss就是两者差的平方。之后，通过梯度下降就可以更新模型参数。

总结

本节课介绍了Value-based Reinforcement Learning，这节课用到了最优动作价值函数$Q^{\star }$，首先对$U_t$求期望，把除了$s_t,a_t$之外的变量给去掉，然后再关于策略函数$\pi$求一个最大化，去掉了$\pi$。

$Q^{\star }$函数根据当前状态$s_t$对每个动作进行打分，分数代表了每个动作的好坏程度，只要有了$Q^{\star }$函数就能使用$Q^{\star }$函数控制Agent运动，每一个时刻Agent只需要选出分数最高的动作，执行这个动作就可以了。

然而，我们并没有这样一个$Q^{\star }$函数，而价值学习的目标就是为了学习出这样一个$Q^{\star }$，DQN就是用一个神经网络来近似$Q^{\star }$函数，DQN可以记作$Q(s,a;w)$，其参数为w，接收输入为状态$s$，其输出是对每一个动作$a$的打分，

一开始DQN的参数都是随机的，Agent会根据DQN的指导不断的尝试，强化学习就是根据奖励来更新模型参数让模型越来越好，这节课讲了用TD算法来更新模型参数，该算法是学习DQN最常用的算法。TD算法不断重复这个过程：

1. 首先，观测到当前的状态$s_t$和已经执行的动作$a_t$;
2. 用DQN做一次计算，输入是状态$s_t$，输出是对每个动作$a$的打分，把输出记作$q_t$;
3. 用反向传播对DQN进行求导，得到梯度$d_t$；
4. 由于Agent已经执行了动作$a_t$，环境会给出新的状态$s_{t+1}$和奖励$r_t$;
5. 有了$s_{t+1}$和$r_t$后，就可以根据这个公式得出TD target为$y_t$;
6. 最后，做一次梯度下降更新模型的参数w

这样，就完成了一次TD算法的迭代。