数字信号处理中的采样和重构

信号的采样和重构是数字信号处理中重要的基础概念之一。采样是将连续时间信号转换为离散时间信号的过程，而重构则是将离散时间信号还原为连续时间信号的过程。在信号处理中，通常会采用周期采样和非周期采样两种方式进行信号采样。

周期采样

周期采样（也称为等间隔采样）是一种将连续时间信号转换为离散时间信号的方法，它的思想是在固定的时间间隔内对信号进行采样，即在等间隔的时间点上采样。这些时间点称为采样时刻，采样时刻的间隔称为采样周期。

假设连续时间信号为 $x(t)$，采样周期为 $T_s$，则采样时刻为 $t=n{T}_s$，其中 $n$ 是整数。那么采样后的离散时间信号为：

其中 $x[n]$ 表示采样信号在第 $n$ 个采样时刻的取值。

需要注意的是，周期采样有一个重要的限制条件，即采样周期 $T_s$ 必须满足采样定理。采样定理指出，对于一个最高频率为 $f_{max}$ 的信号进行采样，采样周期 $T_s$ 必须小于等于信号周期的一半，即 $T_s\le \frac{1}{2f_{max}}$。否则，会出现采样失真现象，即由于采样率不足而无法还原原始信号。

下面是一个使用 Python 实现的周期采样的示例代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 原始信号
t = np.linspace(-1, 1, 1000)
x = np.sin(2 * np.pi * 5 * t)

# 周期采样
Ts = 0.1  # 采样周期
n = np.arange(-10, 10)  # 采样点序列
xn = np.sin(2 * np.pi * 5 * n * Ts)  # 采样信号

# 绘图
plt.plot(t, x, label='Original signal')
plt.stem(n*Ts, xn, label='Sampled signal')
plt.legend()
plt.show()

在这个示例中，我们生成了一个正弦信号 $x(t)=\sin (2\pi ft)$，并使用周期采样对其进行采样。图中的蓝色曲线为原始信号，橙色的圆点表示采样时刻的离散时间点，红色的竖线表示采样值。

非周期采样

非周期采样也称为不等间隔采样，是指采样时间间隔不固定的采样方式。设采样时刻为 $t_1,t_2,\dots ,t_n$，则得到的采样信号为：

其中，$N$ 表示采样点数。可以看出，采样信号 $x_s(t)$ 是由原始信号 $x(t)$ 与一串在离散时刻 $t_1,t_2,\dots ,t_n$ 处取值的单位脉冲序列相乘得到的。

非周期采样通常使用时间间隔 $\Delta t$ 来表示采样率，即 $f_s=1/\Delta t$，其中 $f_s$ 是采样率。对于连续时间信号 $x(t)$，我们可以使用采样定理，即 Nyquist-Shannon 采样定理，来确保采样后的信号不失真。

Nyquist-Shannon 采样定理指出，如果信号 $x(t)$ 的频率范围在 $[0,f_s/2]$ 之内，那么在采样率为 $f_s$ 时，我们可以完全恢复信号。因此，我们可以使用以下公式对信号进行采样：

其中 $n$ 是采样点的整数序列。

然后，我们可以使用插值方法来重构原始信号。最简单的方法是使用零阶保持插值，也称为阶梯插值，它假定在两个采样点之间的信号值保持不变。这意味着，在 $[n\Delta t,(n+1)\Delta t]$ 时间间隔内，信号值是常数 $x[n]$。

重构后的信号为：

其中，$\mathrm{rect}(t)$ 是矩形函数，定义为：

下面是 Python 代码示例，我们可以看到采样后的信号与原始信号非常接近：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 原始信号
t = np.linspace(-1, 1, 1000)
x = np.sin(2 * np.pi * 5 * t)

# 非周期采样
fs = 50  # 采样率
ts = 1 / fs  # 采样间隔
n = np.arange(0, len(t))
xn = x[n*int(ts/t[1])]  # 采样信号

# 零阶保持插值
tr = np.linspace(-1, 1, 1000)
xr = np.zeros_like(tr)
for i in range(len(n)):
    xr += xn[i] * np.sinc((tr - n[i] * ts) / ts)

# 绘图
plt.plot(t, x, label='Original signal')
plt.stem(n*ts, xn, label='Sampled signal')
plt.plot(tr, xr, label='Reconstructed signal')
plt.legend()
plt.show()

重构

重构是将离散时间信号还原为连续时间信号的过程。设采样信号为 $x_s(t)$，采样周期为 $T_s$，则重构信号为：

其中，$sinc(x)$ 表示 $\frac{\sin (x)}{x}$ 函数。可以看出，重构信号 $x_r(t)$ 是由采样信号 $x_s(t)$ 在每个采样时刻处乘上一个 $sinc$ 函数的值并求和得到的。

下面是 Python 代码实现：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 原始信号
t = np.linspace(-1, 1, 1000)
x = np.sin(2 * np.pi * 5 * t)

# 周期采样
Ts = 0.1  # 采样周期
n = np.arange(-10, 10)  # 采样点序列
xn = np.sin(2 * np.pi * 5 * n * Ts)  # 采样信号

# 重构
tr = np.linspace(-1, 1, 1000)
xr = np.zeros_like(tr)
for i in range(len(n)):
    xr += xn[i] * np.sinc((tr - n[i] * Ts) / Ts)

# 绘图
plt.plot(t, x, label='Original signal')
plt.stem(n*Ts, xn, label='Sampled signal')
plt.plot(tr, xr, label='Reconstructed signal')
plt.legend()
plt.show()

在这个示例中，我们先生成了一个正弦信号 $x(t)=\sin (2\pi ft)$，然后使用周期采样对其进行采样，并最终使用 $sinc$ 函数重构了原始信号。重构信号与原始信号非常接近，这证明了采样和重构的有效性。

信号的重构通常使用一种名为插值的方法，该方法将采样信号与一种基函数相乘，并将它们相加以获得连续信号。在这里，我们将使用基函数 $sinc(x)$，它是一个非常常见的插值函数。

假设我们有一个离散时间序列 $x[n]$，它是由原始信号进行周期采样得到的。在周期采样中，我们将原始信号 $x(t)$ 采样为：

其中 $T_s$ 是采样周期，$n$ 是整数。

现在，我们希望通过重构方法得到连续的信号 $x_r(t)$，并使用 $sinc(x)$ 函数进行插值。那么，插值信号可以表示为：

其中，$sinc(x)$ 函数定义为：

上面的式子意味着对于任何时刻 $t$，我们可以通过将 $sinc(x)$ 函数与采样点 $x[n]$ 相乘，然后对所有采样点求和，从而得到该时刻的连续信号 $x_r(t)$。这种重构技术被称为零阶保持插值（zero-order hold interpolation）。

下面是 Python 代码实现：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 原始信号
t = np.linspace(-1, 1, 1000)
x = np.sin(2 * np.pi * 5 * t)

# 周期采样
Ts = 0.1  # 采样周期
n = np.arange(-10, 10)  # 采样点序列
xn = np.sin(2 * np.pi * 5 * n * Ts)  # 采样信号

# 重构
tr = np.linspace(-1, 1, 1000)
xr = np.zeros_like(tr)
for i in range(len(n)):
    xr += xn[i] * np.sinc((tr - n[i] * Ts) / Ts)

# 绘图
plt.plot(t, x, label='Original signal')
plt.stem(n*Ts, xn, label='Sampled signal')
plt.plot(tr, xr, label='Reconstructed signal')
plt.legend()
plt.show()

在这个示例中，我们先生成了一个正弦信号 $x(t)=\sin (2\pi ft)$，然后使用周期采样对其进行采样，并最终使用 $sinc$ 函数重构了原始信号。重构信号与原始信号非常接近，这证明了采样和重构的有效性。